Question

已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，作∠CDE=∠CDF=α，交AC于F，交BC于E．请问当α为何值时，△DEF的面积最大并求出最大值．

Answer 1

考点：三角形的面积公式

专题：解三角形

分析：设AB=c，BC=a，CA=b．由三角形的面积可得CD=

ab

c

，∠DCB=∠A，∠ACD=∠B． 在△CDF中，根据正弦定理可得：

DF

sinB

=

CD

sin(α+B)

，可得DF=

CDsinB

sin(α+B)

；同理，在△CDE中，根据正弦定理，有DE=

CDsinA

sin(α+A)

．△DEF的面积S=

1

2

DE•DFsin2α，代入化简可得S=

a2b2

c2(cotAtanαcotB+cotA+cotB+cotα)

．由于cotA•cotB•tanα+cotα≥2

cotAcotB

=2，可得S≤

a2b2

c2(2+cotA+cotB)

．等号成立当且仅当tanα=cotα，即α=45°． 又考虑到cotA=

b

a

，cotB=

a

b

，可得最大面积S=

a3b3

c2(a+b)2

．

解答： 解：设AB=c，BC=a，CA=b．
由三角形的面积可得CD=

ab

c

，∠DCB=∠A，∠ACD=∠B．
在△CDF中，根据正弦定理可得：

DF

sinB

=

CD

sin(α+B)

，可得DF=

CDsinB

sin(α+B)

；
同理，在△CDE中，根据正弦定理，有DE=

CDsinA

sin(α+A)

．
△DEF的面积S=

1

2

DE•DFsin2α
=

1

2

CD2sinAsinBsin2α

sin(α+A)sin(α+B)

=

a2b2

c2

•

sinAsinBsinαcosα

(sinαcosA+cosαsinA)(sinαcosB+cosαsinB)

=

a2b2

c2

•

1

(cotA+cotα)(tanαcotB+1)

=

a2b2

c2(cotAtanαcotB+cotA+cotB+cotα)

．
∵cotA•cotB•tanα+cotα≥2

cotAcotB

=2，
∴S≤

a2b2

c2(2+cotA+cotB)

，等号成立当且仅当tanα=cotα，即α=45°．
又考虑到cotA=

b

a

，cotB=

a

b

，
∴最大面积S=

a3b3

c2(a+b)2

．
因此当α=45°时，三角形的最大面积

a3b3

c2(a+b)2

．

点评：本题考查了直角三角形的面积计算公式、正弦定理、基本不等式的性质、互余角的性质、余切函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．