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    A是由定义在［2,4］上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:

    ①对任意x∈［1,2］,都有φ(2x)∈(1,2);

    ②存在常数L(0＜L＜1),使得对任意x1、x2∈［1,2］,都有|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.

    (1)设φ(x)=,x∈［2,4］,证明φ(x)∈A;

    (2)设φ(x)∈A,证明如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的;

    (3)设φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,证明给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式:|xk+p-xk|≤|x1-x2|.

    证明：(1)由题设,对任意x∈［1,2］有φ(2x)= ,x∈［1,2］,

    ∵≤φ(2x)≤,1＜＜＜2,

    ∴φ(2x)∈(1,2).

    又∵对任意的x1,x2∈［1,2］,

    |φ(2x1)-φ(2x2)|=|x1-x2|,

    而6＜++＜9,

    ∴.

    令=L,显然存在常数L(0＜L＜1),

    使得|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.

    综上所述,可知φ(x)∈A.

    (2)(运用反证法证明)

    设存在两个实数x1、x2∈(1,2)且x1≠x2,使得x1=φ(2x1),x2=φ(2x2).

    因为φ(x)∈A,则由

    |x1-x2|=|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|,得|x1-x2|≤L|x1-x2|,

    ∴L≥1,这与题设0＜L＜1矛盾,故假设不成立.

    从而所证命题结论成立.

    (3)因为φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),且xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,

    ∴|xn+1-xn|=|φ(2xn)-φ(2xn-1)|

    ≤L|xn-xn-1|

    =L|φ(2xn-1)-φ(2xn-2)|

    ≤L2|xn-1-xn-2|

    =L2|φ(2xn-2)-φ(2xn-3)|

    ≤L3|xn-2-xn-3|=…

    ≤Ln-1|x2-x1|(其中0＜L＜1).

    ∴|xk+p-xk|=|(xk+p-xk+p-1)+(xk+p-1-xk+p-2)+…+(xk+1-xk)|

    ≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|≤Lk+p-2|x2-x1|+Lk+p-3|x2-x1|+…+Lk-1|x2-x1|

    =(Lk+p-2+Lk+p-3+…+Lk-1)|x2-x1|=|x2-x1|,

    故对于给定正整数k,对任意的正整数p不等式|xk+p-xk|≤|x2-x1|均成立.

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    （2）存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|φ（2x1）-φ（2x2）|≤L|x1-x2|．
    （Ⅰ）设φ（x）=
    31+x
    ，x∈[1，2]，证明：φ（x）∈A；
    （Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=φ（2x0），那么这样的x0是唯一的．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•延庆县一模）A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
    （1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
    （2）存在常数L（0＜L＜0），使得对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|?（2x1）-?（2x2）|≤L|x1-x2|．
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    （Ⅲ）设φ（x）∈A，任取xn∈（1，2），令xn+1=φ（2nx），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤
    Lk-1
    1-L
    |x2-x1|    成立．

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    科目：高中数学 来源：延庆县一模 题型：解答题

    A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
    （1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
    （2）存在常数L（0＜L＜0），使得对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|?（2x1）-?（2x2）|≤L|x1-x2|．
    （Ⅰ）设φ（x）=
    31+x
    ，x∈[2，4]，证明：φ（x）∈A；
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    （Ⅲ）设φ（x）∈A，任取xn∈（1，2），令xn+1=φ（2nx），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤
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    科目：高中数学 来源： 题型：

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