Question

（本题满分16分）

已知圆：，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点为、．

（1）当的横坐标为时，求∠的大小；

（2）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出该定点的坐标；

（3）求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标；

（4）求线段长度的最小值．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，，

因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°

又因MP＝＝2r，

　　　又∠MPA＝30°，∠APB＝60°；　　　　　　　　　　　

　　（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，其方程为：

即　　

　　　　　由，

解得或，所以圆过定点　　

（Ⅲ）因圆方程为即

 　　　　　　　　　　　　……①

　　　　　圆：即　　　　　……②

②－①得圆方程与圆相交弦所在直线方程为

…11分

点M到直线的距离

相交弦长即　

当时，AB有最小值

 

【解析】略