Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC₁∩B₁C=O，H点为点O在平面D₁DCC₁内的正投影．
（1）求以A为顶点，四边形D₁DCH为底面的四棱锥的体积；
（2）求证：BC₁⊥平面A₁B₁CD；
（3）求直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角．

Answer 1

分析：1）由正方体的性质可得H为CC₁的中点，从而可得CH=HC₁=1，由已知容易证明AD⊥平面D₁DCC₁，分别求出四边形D₁DCH的面积及四棱锥的高CD
（2）由四边形BCC₁B₁是正方形可证，BC₁⊥B₁C，然后可证A₁B₁⊥BC₁，根据线面垂直的平判定定理可证
（3）由（1）知BC₁⊥平面A₁B₁CD，O为垂足，所以A₁O为斜线A₁B在平面A₁B₁CD内的射影，∠BA₁O为A₁B与平面A₁B₁CD所成的角．在RtBA₁O中易求角∠BA₁O

解答：解：（1）如图，∵点O是正方形BCC₁B₁的中心∴H为CC₁的中点，∴CH=HC₁=1
∴SD1DCH=

1

2

×(DD1+CH)×CD=

1

2

×(2+1)×2=3∵AD⊥DC，AD⊥DD₁，CD∩DD₁=D∴AD⊥平面D₁DCC₁，
故所求四棱锥体积为VA-D1DCH=

1

3

×SD1DCH×AD
=

1

3

×3×2=2．
（2）由题意四边形BCC₁B₁是正方形，∴BC₁⊥B₁C∵A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁B，B₁C₁∩B₁B=B₁∴A₁B₁⊥平面BCC₁B₁BC₁?平面BCC₁B₁∴A₁B₁⊥BC₁．（8分）
又∵B₁C∩A₁B₁=B₁，B₁C?平面A₁B₁CD，A₁B₁?平面A₁B₁CD∴BC₁⊥平面A₁B₁CD．
（3）如图，连A₁O，由（1）知BC₁⊥平面A₁B₁CD，O为
垂足，所以A₁O为斜线A₁B在平面A₁B₁CD内的射影，∠BA₁O为A₁B与平面A₁B₁CD所成的角．
在Rt△A1BO中，A1B=2

2

，BO=

2

，
所以∴sin∠BA1O=

BO

A1B

=

1

2

∴∠BA₁O=30°．
因此，直线A₁B与平面A₁B₁CD所成的角为30⁰．

点评：棱锥体积的求解的关键是需要找的与已知平面垂直的直线即所求棱锥的高，线面角的求解的关键是作出与已知平面垂直的直线，进而找到线面角，在直角三角形中求出所求的角．