精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(2012•湖南)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.
(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAE;
(Ⅱ)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.
分析:解法一:(Ⅰ)先根据条件得到CD⊥AE;再结合PA⊥平面ABCD即可得到结论的证明;
(Ⅱ)先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA=BF,进而得到四边形BCDG是平行四边形,在下底面内求出BF的长以及下底面的面积,最后代入体积计算公式即可.
法二:(Ⅰ)先建立空间直角坐标系,求出各点的坐标,进而得到
CD
AE
=0以及
CD
AP
=0.即可证明结论;
(Ⅱ)先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA的长,再求出下底面面积,最后代入体积计算公式即可.
解答:解法一:(Ⅰ)连接AC,由AB=4,BC=3,∠ABC=90°,得AC=5,
又AD=5,E是CD得中点,
所以CD⊥AE,
PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD.
所以PA⊥CD,
而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线,
所以CD⊥平面PAE.
(Ⅱ)过点B作BG∥CD,分别与AE,AD相交于点F,G,连接PF,
由CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE,于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角,且BG⊥AE.
由PA⊥平面ABCD知,∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角.
由题意∠PBA=∠BPF,因为sin∠PBA=
PA
PB
,sin∠BPF=
BF
PB
,所以PA=BF.
由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC,又BG∥CD.
所以四边形BCDG是平行四边形,
故GD=BC=3,于是AG=2.
在RT△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,
所以BG=
AB2+AG2
=2
5
,BF=
AB2
BG
=
16
2
5
=
8
5
5

于是PA=BF=
8
5
5

又梯形ABCD的面积为S=
1
2
×(5+3)×4=16.
所以四棱锥P-ABCD的体积为V=
1
3
×S×PA=
1
3
×16×
8
5
5
=
128
5
15

解法二:以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为X轴,Y轴,Z轴建立空间直角坐标系,
设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).
(Ⅰ)
CD
=(-4,2,0),
AE
=(2,4,0),
AP
=(0,0,h).
因为
CD
AE
=-8+8+0=0,
CD
AP
=0.
所以CD⊥AE,CD⊥AP,而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线,
所以CD⊥平面PAE.
(Ⅱ)由题设和第一问知,
CD
PA
分别是平面PAE,平面ABCD的法向量,
而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,
所以:|cos<
CD
PB
>|=|cos<
PA
PB
>|,即|
CD
PB
|
CD
| •|
PB
|
|=|
PA
PB
|
PA
|•|
PB
|
|.
由第一问知
CD
=(-4,2,0),
PA
=((0,0,-h),又
PB
=(4,0,-h).
故|
-16+0+0
2
5
16+h2
|=|
0+0+h2
h•
16+h2
|.
解得h=
8
5
5

又梯形ABCD的面积为S=
1
2
×(5+3)×4=16.
所以四棱锥P-ABCD的体积为V=
1
3
×S×PA=
1
3
×16×
8
5
5
=
128
5
15
点评:本题是中档题,利用空间直角坐标系通过向量的计算,考查直线与平面所成角的求法,直线与直线的垂直的证明方法,考查空间想象能力,计算能力,是常考题型.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•湖南)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•湖南)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则
AP
AC
=
18
18

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•湖南)如图,过点P的直线与圆⊙O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则圆O的半径等于
6
6

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•湖南)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为
6.8
6.8

(注:方差s2=
1
n
[(x1-
.
x
)
2
+(x2-
.
x
)
2
+…+(xn-
.
x
)
2
]
,其中
.
x
为x1,x2,…,xn的平均数)

查看答案和解析>>

同步练习册答案