Question

椭圆C的中心在原点O，它的短轴长为，相应的焦点的准线了l与x轴相交于A，|OF₁|=2|F₁A|.

(1)求椭圆的方程；

(2)过椭圆C的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线l，交椭圆于P、Q两点，若点M在轴上，且使MF₂为的一条角平分线，则称点M为椭圆的“左特征点”，求椭圆C的左特征点；

(3)根据(2)中的结论，猜测椭圆的“左特征点”的位置．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3) 左准线与轴的交点

【解析】本试题主要是运用椭圆的几何性质得到椭圆方程，然后结合新定义得到直线与 椭圆的方程联立，结合韦达定理表示，然后得到左特征点。同时利用椭圆的准线返程的得到交点，进而猜测左特征点。

（1）由条件知，可设椭圆方程为

又

（2）)设左特征点为，左焦点为，

可设直线的方程为

联立直线与椭圆方程的得到关系式，进而得到韦达定理，利用角平分线的性质得到结论。

（3）因为椭圆的左准线与轴的交点为，

故猜测椭圆的左特征点为左准线与轴的交点。

解：（1）由条件知，可设椭圆方程为

又

椭圆方程为   …………4分

(2)设左特征点为，左焦点为，

可设直线的方程为

由与，消去得

又设，则

      ①     

         　　　②                …………6分

因为为的角平分线，所以，即

       ③

将与代入③化简，得     

   ④

   

再将①②代入④得       

 即左特征点为                      …………10分

（3）因为椭圆的左准线与轴的交点为，

故猜测椭圆的左特征点为左准线与轴的交点． …………12分