Question

有甲、乙等7名选手参加一次演讲比赛，采用抽签的方式随机确定每名选手的演出顺序（序号为1，2，…，7）．
（Ⅰ）甲选手的演出序号是1的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；
（Ⅲ）设在甲、乙两名选手之间的演讲选手个数为X，求X的分布列与期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A表示“甲选手的演出序号是1”，所以P(A)=

1

7

．由此能求出甲选手的演出序号是1的概率．
（Ⅱ）设B表示“甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数”，

.

B

表示“甲、乙两名选手的演出序号都是偶数”．利用间接法能求出甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率．
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出其对应的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）设A表示“甲选手的演出序号是1”，所以P(A)=

1

7

．
所以甲选手的演出序号是1的概率为

1

7

．…（3分）
（Ⅱ）设B表示“甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数”，

.

B

表示“甲、乙两名选手的演出序号都是偶数”．
所以P(B)=1-P(

.

B

)=1-

A 2 3

A 2 7

=

6

7

．
所以甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率为

6

7

．…（6分）
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4，5，…（7分）
所以P(X=0)=

12

A 2 7

=

2

7

，
P(X=1)=

10

A 2 7

=

5

21

，
P(X=2)=

8

A 2 7

=

4

21

，
P(X=3)=

6

A 2 7

=

1

7

，
P(X=4)=

4

A 2 7

=

2

21

，
P(X=5)=

2

A 2 7

=

1

21

．…（10分）
所以X的分布列为

X	0	1	2	3	4	5
P	2 7	5 21	4 21	1 7	2 21	1 21

…（12分）
所以EX=0×

2

7

+1×

5

21

+2×

4

21

+3×

1

7

+4×

2

21

+5×

1

21

=

5

3

．…（13分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考拨考题型．解题时要认真审题，注意概率知识的合理运用．