Question

（2012•菏泽一模）已知直线l：y=x+

6

，圆O：x²+y²=5，椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

3

．直线l截圆O所得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线．若切线都存在斜率，求证这两条切线互相垂直．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求直线l圆O截得的弦长，进而可得椭圆的短轴长，利用椭圆的离心率e=

3

3

，即可确定椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过点P的椭圆的切线方程，代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，利用判别式为0得方程，利用韦达定理，及点P在圆O上，即可计算得两条切线的斜率的积，从而可得结论．

解答：（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，圆心O到l的距离为d=

6

2

=

3

∴直线l圆O截得的弦长2

2

∵直线l圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等
∴b=

2

∵椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

3

．
∴

a2-2

a2

=

1

3

∴a²=3
∴椭圆E的方程为

y2

3

+

x2

2

=1；
（Ⅱ）证明：设P（x₀，y₀），过点P的椭圆的切线方程为y-y₀=k（x-x₀），即y=kx+y₀-kx₀，
代入椭圆方程，消去y可得：（3+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2（y₀-kx₀）²-6=0
∴△=[4k（y₀-kx₀）]²-4（3+2k²）[2（y₀-kx₀）²-6]=0
即（2-x02）k²+2kx₀y₀-（y02-3）=0
∴两条切线的斜率的积为-

y02-3

2-x02

∵点P在圆O上，∴x02+y02=5，∴-

y02-3

2-x02

=-

5-x02-3

2-x02

=-1
∴两条切线的斜率的积为-1
∴两条切线互相垂直．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，联立方程，计算斜率是关键．