Question

15．如图，已知四边形ABCD是矩形，AD=4，AB=2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA⊥面ABCD．
（Ⅰ）证明PF⊥FD；
（Ⅱ）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AF，利用已知条件推导出AF⊥FD，再由PA⊥面ABCD，推导出FD⊥面PAF，由此能证明PF⊥FD．
（Ⅱ）过E作EH∥FD交AD于H，再过H作HG∥PD交PA于G，利用已知条件推导出面EHG∥面PFD，由此入手能确定G点的位置．

解答 （Ⅰ）证明：连结AF，
因为在矩形ABCD中，
AD=4，AB=2，F分别是线段BC的中点，
所以AF⊥FD．…（2分）
又因为PA⊥面ABCD，所以PA⊥FD．…（4分）
又AF∩PA=A，所以平面PAF⊥FD．
所以PF⊥FD…（6分）
（Ⅱ）解：过E作EH∥FD交AD于H，则EH∥平面PFD且$AH=\frac{1}{4}AD$．…（8分）
再过H作HG∥DP交PA于G，则HG∥平面PFD且$AG=\frac{1}{4}AP$．…（10分）
所以平面EHG∥平面PFD，所以EG∥平面PFD
从而满足$AG=\frac{1}{4}AP$的点G为所找…（12分）

点评 本题考查直线与直线垂直的证明，考查空间点位置的确定，要熟练掌握直线与平面、平面与平面、直线与直线的位置关系的判断与证明，解题时要注意空间思维能力的培养．