Question

4．在等差数列{a_n}中，已知a₁+a₄+a₇=9，a₃+a₆+a₉=21，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前9项和S₉；
（Ⅲ）若${c_n}={2^{{a_n}+3}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用等差数列的前n项和公式即可得出；
（III）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁+a₄+a₇=9，a₃+a₆+a₉=21，
得$\left\{{\begin{array}{l}{3{a_1}+9d=9}\\{3{a_1}+15d=21}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+3d=3}\\{{a_1}+5d=7}\end{array}}\right.$，
解得a₁=-3，d=2，
∴a_n=2n-5．
（Ⅱ）S₉=9a₁+36d=9×（-3）+36×2=45．
（Ⅲ）由（Ⅰ）${c_n}={2^{{a_n}+3}}={2^{2（n-1）}}={4^{n-1}}$，
∴{c_n}是首项c₁=1，公比q=4的等比数列，
∴$T{\;}_n=\frac{{{c_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{{4^n}-1}}{3}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．