【题目】已知圆A:(x+1)2+y2=16,圆C过点B(1,0)且与圆A相切,设圆心C的轨迹为曲线E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)过点B作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与E交于M,N两点,直线l2与圆A交于P,Q两点,求的取值范围.
【答案】(I);(II).
【解析】
(Ⅰ)由题意画出图形,根据椭圆的定义和性质求出a,b,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)求出两直线垂直于坐标轴时的值,当两直线斜率存在且不为0时,设l1:y=k(x﹣1),则l2:y,分别求出|MN|,|PQ|的值,可得关于k的函数,利用配方法求值域.
(Ⅰ)圆A:(x+1)2+y2=16的圆心A(﹣1,0),半径r=4,如图,
由图可知,|CA|+|CB|=r=4,
∴圆心C的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,且c=1,2a=4,a=2.
∴b.
则曲线E的方程为;
(Ⅱ)如图,当l1⊥x轴,l2⊥y轴时,;
当l1⊥y轴,l2⊥x轴时,;
当两直线斜率存在且不为0时,设l1:y=k(x﹣1),
则l2:y.
联立,得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则,,
∴|MN||x1﹣x2|
.
圆心A到直线x+ky﹣1=0的距离d,
则|PQ|=2.
∴.
∵k2+1>1,∴,则,
∴∈(),
综上,的取值范围为[].
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【题目】如图,O为总信号源点,A,B,C是三个居民区,已知A,B都在O的正东方向上,OA=10km,OB=20km,C在O的北偏西45°方向上,CO=5 km.
(1)求居民区A与C的距离;
(2)现要经过点O铺设一条总光缆直线EF(E在直线OA的上方),并从A,B,C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF.假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比,比例系数为m(m为常数).设∠AOE=θ(0≤θ<π),铺设三条分光缆的总费用为w(元). ①求w关于θ的函数表达式;
②求w的最小值及此时tanθ的值.
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【题目】已知椭圆M: =1(a>b>0)的离心率为 ,左焦点F1到直线 的距离为3,圆N的方程为(x﹣c)2+y2=a2+c2(c为半焦距),直线l:y=kx+m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点,分别设为A,B.
(1)求椭圆M的方程和直线l的方程;
(2)在圆N上是否存在点P,使 ,若存在,求出P点坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手,参加山东省职业院校技能大赛,在同样条件下经过多轮测试,成绩分析如表所示,根据表中数据判断,最佳人选为( ) 成绩分析表
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
平均成绩 | 96 | 96 | 85 | 85 |
标准差s | 4 | 2 | 4 | 2 |
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
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【题目】设A(x1 , y1),B(x2 , y2)是椭圆 上的两点,已知向量 =( , ), =( , ),若 =0且椭圆的离心率e= ,短轴长为2,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
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【题目】椭圆()的离心率是,点在短轴上,且。
(1)球椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数,使得为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。
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