Question

（2010•连云港三模）如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m²，要使长方形的面积最大，求其边长x．

Answer 1

分析：本题考查二次函数最小（大）值的求法．欲求使长方形的面积最大时的边长x，先利用：长方形的面积=大三角形的面积-两个小三角形的面积表示出函数y，再利用二次函数的性质求出最大值及相应的x的值即可．

解答：解：根据题意得：AD=BC=

y

x

，上边三角形的面积为：

1

2

（5-x）

y

x

，右侧三角形的面积为：

1

2

x（12-

y

x

），
所以y=30-

1

2

（5-x）

y

x

-

1

2

x（12-

y

x

），
整理得y=-

12

5

x²+12x，
=-

12

5

[x2-5x+（

5

2

）2-

25

4

]，
=-

12

5

（x-

5

2

）²+15，
∵-

12

5

 ＜0
∴长方形面积有最大值，此时边长x应为

5

2

m．
故要使长方形的面积最大，其边长

5

2

m．

点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比较简单．