Question

已知点F(0，1)，点P在x轴上运动，M点在y轴上，N为动点，且满足，．（1）求动点N的轨迹C方程；（2）由直线y= -1上一点Q向曲线C引两条切线，切点分别为A，B，求证：AQ⊥BQ．

Answer 1

已知点F(0，1)，点P在x轴上运动，M点在y轴上，N为动点，且满足，．

（1）求动点N的轨迹C方程；

（2）由直线y= -1上一点Q向曲线C引两条切线，切点分别为A，B，求证：AQ⊥BQ．

答案：（1）设N(x，y)．

    因，故P的坐标为(，0)，M(0，-y)，于是，，．

       因，即得曲线C的方程为x2=4y． ………………………………………………5分

       （2）设Q(m，-1)．由题意，两条切线的斜率k均存在，故可设两切线方程为y=k(x-m)-1．

       将上述方程代入x2=4y，得x2-4kx+4km+4=0．

       依题意，⊿=(-4k)2-4(4km+4)=0，即k2-mk-1=0．

       上述方程的两根即为两切线的斜率，

       由根与系数的关系，其积为-1，即它们所在直线互相垂直．…………………………………10分