Question

13．已知函数f（x）=（a-1）x^a（a∈R），g（x）=|lgx|．
（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值；
（Ⅱ）关于x的方程g（x-1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x₁，x₂（x₁＜x₂），求$a+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用幂函数的定义能求出a．
（Ⅱ）函数y=g（x-1）与y=1-a在x∈（1，3）上有两不同交点，y=g（x-1）=$\left\{\begin{array}{l}lg（x-1），x≥2\\-lg（x-1），1＜x＜2\end{array}\right.$，推导出1-lg2＜a＜1，x₁∈（1，2），x₂∈（2，3），由此能求出$a+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（a-1）x^a（a∈R），f（x）是幂函数，
∴由题有a-1=1，得a=2．      （2分）
（Ⅱ）方程化为g（x-1）=1-a，
由题有函数y=g（x-1）与y=1-a在x∈（1，3）上有两不同交点．             （3分）
y=g（x-1）=|lg（x-1）|=$\left\{\begin{array}{l}lg（x-1），x≥2\\-lg（x-1），1＜x＜2\end{array}\right.$
在x∈（1，2]时，y=g（x-1）单调递减，y=g（x-1）∈[0，+∞），
在x∈[2，3）时，y=g（x-1）单调递增，y=g（x-1）∈[0，lg2），5分
所以0＜1-a＜lg2，即1-lg2＜a＜1，（7分）
由x₁＜x₂，可知x₁∈（1，2），x₂∈（2，3），
且$\left\{\begin{array}{l}-lg（{x_1}-1）=1-a\\ lg（{x_2}-1）=1-a\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}lg（{x_1}-1）=-（1-a）\\ lg（{x_2}-1）=1-a.\end{array}\right.$
相加消去a，可得lg（x₁-1）+lg（x₂-1）=0，即（x₁-1）（x₂-1）=1，
展开并整理得x₁x₂=x₁+x₂，即$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=1$．              （11分）
所以$a+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的取值范围为（2-lg2，2）．              （12分）

点评 本题考查实数值的求法，考查代数式的值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．