Question

20．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，tanα=$\frac{4}{3}$，cos（β-α）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，则β=$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tan（β-α） 的值，再利用两角和差的正切公式，求得tanβ=tan[（β-α）+α]的值，可得β的值．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，tanα=$\frac{4}{3}$，cos（β-α）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，∴sin（β-α）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（β-α）}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴tan（β-α）=$\frac{sin（β-α）}{cos（β-α）}$=7，∴tanβ=tan[（β-α）+α]=$\frac{tan（β-α）+tanα}{1-tan（β-α）tanα}$=$\frac{7+\frac{4}{3}}{1-7•\frac{4}{3}}$=-1，
∴β=$\frac{3π}{4}$，
故答案为：$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．