Question

设双曲线的左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），c＞0，若以F₁F₂为斜边的等腰直角三角形F₁AF₂的直角边的中点在双曲线上，则等于________．

Answer 1

分析：记双曲线的焦距为2C、依题意知点M在y轴上，M在y轴正半轴上，则可表示出F₁和M的坐标，进而可表示出线段MF₁的中点坐标代入双曲线方程，化简整理即可求得e．
解答：记双曲线的焦距为2C、依题意知点M在y轴上，
∴线段MF₁的中点坐标是（-，）．
又∵线段MF₁的中点在双曲线上，
∴-=1，即 -=4，-=4，（e²）²-6e²+4=0，e²=3±．又e²＞1，
∴e²=3+
∵（ ）²=3+，
∴e=．
故答案为．
点评：本题主要考查了直线与双曲线的关系以及求离心率的问题．考查了学生的综合分析问题和基本的运算能力．