Question

12、男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员．

Answer 1

分析：（1）本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有C₆³种选法．再选2名女运动员，有C₄²种选法．利用乘法原理得到结果．
（2）至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．分别写出这几种结果，利用分类加法原理得到结果．本题也可以从事件的对立面来考虑，写出所有的结果减去都是男运动员的结果数．
（3）只有男队长的选法为C₈⁴种，只有女队长的选法为C₈⁴种，男、女队长都入选的选法为C₈³种，把所有的结果数相加．
（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C₉⁴种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C₈⁴种选法．其中不含女运动员的选法有C₅⁴种，得到结果．

解答：解：（1）由题意知本题是一个分步计数问题，
首先选3名男运动员，有C₆³种选法．
再选2名女运动员，有C₄²种选法．
共有C₆³•C₄²=120种选法．

（2）法一（直接法）：“至少1名女运动员”包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理可得有C₄¹•C₆⁴+C₄²•C₆³+C₄³•C₆²+C₄⁴•C₆¹=246种选法．
法二（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．
从10人中任选5人，有C₁₀⁵种选法，其中全是男运动员的选法有C₆⁵种．
所以“至少有1名女运动员”的选法有C₁₀⁵-C₆⁵=246种．

（3）“只有男队长”的选法为C₈⁴种；
“只有女队长”的选法为C₈⁴种；
“男、女队长都入选”的选法为C₈³种；
∴共有2C₈⁴+C₈³=196种．
∴“至少1名队长”的选法有C₁₀⁵-C₈⁵=196种选法．

（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C₉⁴种选法．
不选女队长时，必选男队长，共有C₈⁴种选法．
其中不含女运动员的选法有C₅⁴种，
∴不选女队长时共有C₈⁴-C₅⁴种选法．
既有队长又有女运动员的选法共有C₉⁴+C₈⁴-C₅⁴=191种．

点评：本题考查分步计数原理，考查分类计数原理，在比较复杂的题目中，会同时出现分类和分步，本题是一个比较综合的题目．