Question

已知等差数列a，b，c中的三个数都是正数，且公差不为零，求证它们的倒数所组成的数列

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差数列．

Answer 1

分析：本题考查等差数列的证明、反证法的证题方法，由“不可能成等差数列”自然想到反证法，先假设数列

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，在此基础上进行推理，由推理结果矛盾使问题得证．

解答：证明（反证法）：假设

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，
则

1

b

-

1

a

=

1

c

-

1

b

，即

a-b

ba

=

b-c

cb

两边乘以b，得

a-b

a

=

b-c

c

，
又∵a，b，c成等差数列，且公差不为零，
∴a-b=b-c≠0．由以上两式，可知

1

a

=

1

c

．
两边都乘以ac，得a=c、
这与已知数列a，b，c的公差不为零，a≠c相矛盾，
所以数列

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差数列

点评：本题的证明运用了反证法． 反证法是一种间接证法，一般地由证明转向证明与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定为假，推出为真的方法叫做反证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法．
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论．