Question

如图，已知C、F是以AB为直径的半圆O上的两点，且CF=CB，过C作CD⊥AF交AF的延长线与点D．
（Ⅰ）证明：CD为圆O的切线；
（Ⅱ）若AD=3，AB=4，求AC的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平行线的判定和性质定理、切线得出判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用相似三角形的性质定理即可求出．

解答：（Ⅰ）证明：∵CF=CB，∴∠CAF=∠CAB．
∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAF=∠ACO，∴AF∥OC．
∵CD⊥AF，∴CD⊥OC．
∴CD为圆O的切线．
（Ⅱ）解：连接BC，由（Ⅰ）知∠CAD=∠CAB．
又∠CDA=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB．
∴

AD

AC

=

AC

AB

．
∴AC²=AD•AB=12，∴AC=2

3

．

点评：熟练掌握平行线的判定和性质定理、切线得出判定定理、相似三角形的性质定理是解题的关键．