Question

图6

我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a²=b²+c²,a＞0,b＞c＞0.

如图6,点F₀、F₁、F₂是相应椭圆的焦点,A₁、A₂和B₁、B₂分别是“果圆”与x、y轴的交点.〔(文)M是线段A₁A₂的中点〕

(1)(理)若△F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程.

(2)(理)当|A₁A₂|＞|B₁B₂|时,求的取值范围.

(文)设P是“果圆”的半椭圆=1(x≤0)上任意一点,求证:当|PM|取得最小值时,P在点B₁、B₂或A₁处.

(3)(理)连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究:是否存在实数k,使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的k值;若不存在,请说明理由.

(文)若P是“果圆”上任意一点,求|PM|取得最小值时点P的横坐标.

Answer 1

解：(1)(理)∵F₀(c,0),F₁(0,),F₂(0,),

∴|F₀F₂|==b=1,|F₁F₂|==1.

于是c²=,a²=b²+c²=,所求“果圆”方程为x²+y²=1(x≥0),y²+x²=1(x≤0).

(2)(理)由题意,得a+c＞2b,即＞2b-a.

∵(2b)²＞b²+c²=a²,∴a²-b²＞(2b-a)²,得＜.

又b²＞c²=a²-b²,∴＞.∴∈(,).

(文)设P(x,y),则|PM|²=(x)²+y²=(1)x²-(a-c)x++b²,-c≤x≤0,∵1＜0,

∴|PM|²的最小值只能在x=0或x=-c处取到,即当|PM|取得最小值时,P在点B₁、B₂或A₁处.

(3)(理)设“果圆”C的方程为=1(x≥0),=1(x≤0).

记平行弦的斜率为k.

当k=0时,直线y=t(-b≤t≤b)与半椭圆=1(x≥0)的交点是P(a,t),与半椭圆=1(x≤0)的交点是Q(-c,t).

∴P、Q的中点M(x,y)满足得=1.

∵a＜2b,∴≠0.

综上所述,当k=0时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上.

当k＞0时,以k为斜率过B₁的直线l与半椭圆=1(x≥0)的交点是().

由此,在直线l右侧,以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y=x上,即不在某一椭圆上.

当k＜0时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.

(文)∵|A₁M|=|MA₂|,且B₁和B₂同时位于“果圆”的半椭圆=1(x≥0)和半椭圆=1(x≤0)上,∴由(2)知,只需研究P位于“果圆”的半椭圆=1(x≥0)上的情形即可.

|PM|²=(x)²+y²=[x]²+b²+.

当x=≤a,即a≤2c时,|PM|²的最小值在x=时取到,此时P的横坐标是.

当x=＞a,即a＞2c时,由于|PM|²在x＜a时是递减的,|PM|²的最小值在x=a时取到,此时P的横坐标是a.

综上所述,若a≤2c,当|PM|取得最小值时,点P的横坐标是;若a＞2c,当|PM|取得最小值时,点P的横坐标是a或-c.