Question

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求所得旋转体的表面积及体积．

Answer 1

分析：根据该旋转体的外形分析其结构可得，它是在一个底面半径为2a、高为

3

a的圆柱中挖去一个底面半径为a、高为

3

a的圆锥，由此不难请计算出它的表面积和体积．

解答：解：由题意，线段AB旋转一周形成圆柱的侧面，线段CB旋转一周形成圆C，CD旋转一周形成圆锥的侧面，线段AD旋转一周形成一个圆环，
∵∠DCB=60°，∴圆锥的底面半径为r=a，母线l=2a，高为

3

a
∴旋转体的表面积S=S_圆柱侧+S_圆C+S_圆锥侧+S_圆环=2π•2a•

3

a+π•（2a）²+π•a•2a+π[（2a）²-a²]=(9+4

3

)πa2…（7分）   
 该旋转体的体积是经AB为母线的圆柱体积减去以CD为母线的圆锥的体积，即
 V=π•（2a）²•

3

a-

1

3

π•a²•

3

a=

11

3

3

πa3…（14分）

点评：本题给出一个特殊的旋转体，要我们求的表面积与体积，着重考查了圆柱、圆锥的侧面积和体积等公式，属于基础题．