Question

【题目】设椭圆E： 过 ， 两点，O为坐标原点
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B，且 ？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为椭圆E： （a，b＞0）过M（2， ），N（ ，1）两点，

所以 ，解得 ，

所以 ，

所以椭圆E的方程为

（2）解：假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 ，设该圆的切线方程为y=kx+m．

解方程组 得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，

则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，

即8k2﹣m2+4＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

．

要使 ，需使x1x2+y1y2=0，即 ，

所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以 ．

又8k2﹣m2+4＞0，所以 ，

所以 ，即 或 ，

因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为 ，

所以 ，所以 ，

所以所求的圆为 ，此时圆的切线y=kx+m都满足 或 ，

而当切线的斜率不存在时，切线为 与椭圆 的两个交点为 或 ，满足 ，

综上，存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

【解析】（1）利用待定系数法，可求椭圆E的方程；（2）分类讨论，设出切线方程与椭圆方程联立，要使 ，需使x1x2+y1y2=0，结合韦达定理，即可求解．