Question

13．已知点A的坐标为（4，1），点B（-7，-2）关于直线y=x的对称点为C．
（Ⅰ）求以A、C为直径的圆E的方程；
（Ⅱ）设经过点A的直线l与圆E的另一个交点为D，|AD|=8，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出B的对称点C，从而求出AC的中点坐标，求出元旦圆心和半径，求出圆的方程即可；
（Ⅱ）分别讨论直线斜率存在和不存在时的情况，结合点到直线的距离公式求出直线l的方程即可．

解答 解：（Ⅰ）点B（-7，-2）关于直线y=x的对称点为C（-2，-7），
∵AC为直径，AC中点E的坐标为（1，-3），
∴圆E的半径为|AE|=5，
∴圆E的方程为（x-1）²+（y+3）²=25．…（5分）
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，易求|AD|=8，此时直线l的方程为x=4，…（7分）
当直线l的斜率存在时，设l：y-1=k（x-4），
∴圆心E到直线l的距离d=$\frac{|4-3k|}{\sqrt{k2+1}}$，
∵圆E的半径为5，|AD|=8，所以d=3，
∴$\frac{|4-3k|}{\sqrt{k2+1}}$=3，解得k=$\frac{7}{24}$，
∴直线l的方程为7x-24y-4=0．
综上所述，直线l的方程为x=4或7x-24y-4=0．…（12分）

点评 本题考查了直线方程问题，考查求圆的方程，是一道中档题．