Question

如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC=20米，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的面积为S₂，将比值

S1

S2

称为“规划合理度”．
（1）试用θ表示S₁和S₂．
（2）当θ变化时，求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小．

Answer 1

分析：（1）据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S₁；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=20列出方程求出x，算出S₂；
（2）由比值

S1

S2

称为“规划合理度”，可设t=sin2θ来化简求出S₁与S₂的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．

解答：解：（1）如图，在Rt△ABC中，AC=20sinθ，AB=20cosθ，
S1=

1

2

×202×sinθcosθ=100sin2θ，
设正方形的边长为x则BQ=

x

tanθ

，RC=xtanθ，
∴

x

tanθ

+x+xtanθ=20，
∴x=

20

1 tanθ +tanθ+1

=

20sin2θ

2+sin2θ

，S2=x2=(

20sin2θ

2+sin2θ

)2；
（2）t=sin2θ而S₂=

202sin2θ

4+4sin2θ+sin22θ

∴

S1

S2

=

1

4

(t+

1

t

+4)，
∵0＜θ＜

π

2

，又0＜2θ＜π，∴0＜t≤1∴f(t)=

1

4

(t+

1

t

+4)为减函数
当t=1时

S1

S2

取得最小值为

3

2

此时sin2θ=1∴θ=

π

4

．

点评：考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力．