Question

如图，已知两条直线L₁：2x-3y+2=0，L₂：3x-2y+3=0．有一动圆（圆心和半径都在变动）与L₁，L₂都相交，并且L₁，L₂被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，求圆心M的轨迹方程，并说出轨迹的名称．

Answer 1

分析：设圆心M的坐标为（x，y），欲求其轨迹方程，即寻找其坐标间的关系，根据弦、弦心距、半径三者之间的关系及点到直线的距离公式即可得到．

解答：解：设圆心M的坐标为（x，y），圆的半径为r，
点M到L₁，L₂的距离分别为d₁，d₂
根据弦、弦心距、半径三者之间的关系，有
d12+(

26

2

)2=r2，
d22+(

24

2

)2=r2．
得d₂²-d₁²=5²．
根据点到直线的距离公式，得
d1=

|2x-3y+2|

13

，d2=

|3x-2y+3|

13

代入上式，
得方程(

2x-3y+2

13

)2-(

3x-2y+3

13

)2=25
化简得x²+2x+1-y²=65．即

(x+1)2

65

-

y2

65

=1．
所以轨迹是双曲线．

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．