Question

已知f(x)=

x-2m-5

x+2

，g(x)=mx-m-2，(m≠-

7

2

)
（I）讨论f（x）在区间（-2，+∞）上的单调性，并证明；
（II）若方程f（x）=g（x）至少有一个正数根，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）令t=2-m，对（II）中的m，求函数g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

的最小值．
（其中[t]表示不超过t的最大整数，例如：[1]=1，[2.6]=2，[-2.6]=-3）

Answer 1

分析：（I）运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：①取值x₁，x₂∈（-2，+∞）；②作差f（x₁）-f（x₂）变形；③定号；④下结论；
（II）由f（x）=g（x），整理得：mx²+（m-3）x+1=0，然后对m进行分类讨论，研究方程f（x）=g（x）至少有一个正数根，从而求出实数m的取值范围．
（Ⅲ）若m=1，则t=1，g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

=1；若m＜1，则[

1

t

]=0，g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

=

4[t]2+1

4[t]

=[t]+

1

4[t]

≥1，取等号当且仅当[t]=

1

2

这是不可能的，所以g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

＞1，从而只有当m=1时，g（t）取最小值1．

解答：解：（Ⅰ）因为f(x)=1-

2m+7

x+2

，所以，当m＞-

7

2

时，f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数，
当m＜-

7

2

时，f（x）在区间（-2，+∞）上为减函数．…（1分）
任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x1)=-

2m+7

x1+2

+

2m+7

x2+2

=

(2m+7)(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

，
因为x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，所以，（x₁+2）（x₂+2）＞0，且x₁-x₂＜0，当m＞-

7

2

时，有f（x₁）-f（x₁）＜0，f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数；
当m＜-

7

2

时，有f（x₁）-f（x₁）＞0，f（x）在区间（-2，+∞）上为减函数．…（4分）
（Ⅱ）f（x）=g（x）?x-2m-5=mx²+（m-2）x-2m-4，整理得：mx²+（m-3）x+1=0，…（5分），
令h（x）=mx²+（m-3）x+1
当m=0时，x=

1

3

，符合题设；
当m＜0时，必有△＞0，且x1x2=

1

m

＜0，h（-2）=2m+7≠0，所以也符合题设；
当m＞0时，因为x1x2=

1

m

＞0，
所以，方程的两根必须都是正根，有：

△=(m-3)2-4m≥0 x1+x2= 3-m m ＞0

，
解得：0＜m≤1，
综上所述，m≤1且m≠-

7

2

．…（7分）
（Ⅲ）因为m≤1，所以t=2-m≥1，[

1

t

]=1或0
若m=1，则t=1，g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

=1；
若m＜1，则[

1

t

]=0，g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

=

4[t]2+1

4[t]

=[t]+

1

4[t]

≥1，
取等号当且仅当[t]=

1

2

这是不可能的，
所以g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

＞1，所以当m=1时，g（t）取最小值1．
…10

点评：本题主要考查函数单调性的应用．运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：（1）取值；（2）作差变形；（3）定号；（4）下结论．取值时，必须注意定义中的x₁、x₂具有的三个特征；变形时，一定要分解完全，对于抽象函数问题注意合理的利用条件等．