Question

高考数学考试中共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“在每小题给出的上个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得5分，不答或答错得0分”．某考生每道选择都选出一个答案，能确定其中有8道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项错误的，有一道题可能判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．试求出该考生的选择题：
（1）得40分的概率；
（2）得多少分的概率最大？
（3）所得分数ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意知要得40分，就是除能确定做对的8道题之外，其余4题全部做错．在其余的四道题中，有两道题答对的概率为

1

2

，有一道题答对的概率为

2

3

，还有一道题答对的概率为

3

4

，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果．
（2）该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共五种，得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错，
得分为45时，有三种可能，这三种情况是互斥的，以此类推，做出概率．
（3）由题意知变量的可能取值分别是40，45，50，55，60，根据第二问做出的结果，写出离散型随机变量的分布列，做出期望．

解答：解：（1）要得40分，就是除能确定做对的8道题之外，其余4题全部做错．
在其余的四道题中，有两道题答对的概率为

1

2

，
有一道题答对的概率为

2

3

，还有一道题答对的概率为

3

4

，
∴他做选择题得40分的概率为：P=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

8

．
（2）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共五种
得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错，
于是其概率为：P1=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

=

6

48

类似的，可知得分为45分的概率：P2=

C

1 2

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

=

17

48

；
得分为50的概率：P3=

17

48

；
得分为55的概率：P4=

7

48

；
得分为60的概率：P5=

1

48

．
∴该生选择题得分为45分或50分的可能性最大．
（3）由（2）可知ξ的分布列为：
∴Eξ=40×

6

48

+45×

7

48

+50×

17

48

+55×

7

48

+60×

1

48

=

575

12

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查学生利用所学的知识解决实际问题的能力，是一个综合题目．