Question

四面体D-ABC，中，AB=BC，在侧面DAC中，中线AN⊥中线DM，且DB⊥AN．
（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若AN=4，DM=3，BD=5，求四面体D-ABC的体积．

Answer 1

解：（1）∵AN⊥DM，AN⊥DB且DB∩DM=D，
∴AN⊥平面BDM，
∵BM?平面BDM，∴AN⊥BM
又∵△ABC中，AB=BC且M为AC中点，∴AC⊥BM
∵AN、AC是平面ACN内的相交直线，∴BM⊥平面ACD，
∵BM?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD
（2）连接MN，
∵四边形ADNM中，对角线AN、DM互相垂直，AN=4，DM=3，
∴四边形ADNM面积S=AN×DM=6
∵MN是△ACD的中位线，
∴△CMN∽△CAD，得S_△CMN=S_△CAD，
因此四边形ADNM面积等于S_△CAD=6，得S_△CAD=8
∵BM⊥平面ACD，得DM⊥BM
∴Rt△BDM中，BM==4
所以四面体D-ABC的体积V=V_B-ACD=S_△CAD×BM=．
分析：（1）根据线面垂直的判定定理，得AN⊥平面BDM，所以AN⊥BM．而等腰△ABC中AC⊥BM，所以BM⊥平面ACD，最后根据面面垂直判定定理，得平面ABC⊥平面ACD；
（2）根据四边形ADNM中，对角线AN、DM互相垂直，得出S_ADNM=S_△CAD=6，得S_△CAD=8．用勾股定理算出BM的长，最后根据BM⊥平面ACD，结合锥体体积公式，可算出四面体D-ABC的体积．
点评：本题给出特殊四面体，求证面面垂直并求锥体体积，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和面积体积公式等知识，属于中档题．