Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，△ADE是等边三角形，侧面ADE⊥底面ABCD，其中AB∥DC，BD=2DC=4，AD=3，AB=5．
（Ⅰ）若F是EC上任一点，求证：平面BDF⊥平面ADE；
（Ⅱ）求三棱锥C-BDE的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证：平面BDF⊥平面ADE，只要证明BD⊥平面ADE，即可证明两平面垂直．
（Ⅱ）求三棱锥C-BDE的体积．转化为求E-BCD的体积，求出底面面积，和E到底面的距离即可．

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABD中，BD=4，AD=3，AB=5
∴AB²=AD²+BD²
∴BD⊥AD（2分）
又平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD
∴BD⊥平面ADE
∵BD?平面BDF

（Ⅱ）取AD中点H，由△ADE是等边三角形，得EH⊥AD
∵平面ADE⊥平面ABCD，
∴EH⊥平面ABCD
∴V_C-BDE=V_E-BCD
=

1

3

•S△BCD•EH
又∵△ADE中，EH=

3 3

2

，△ABD中，AB边上的高=

3×4

5

=

12

5

∴S△BCD=SABCD-S△ABD=

1

2

×(2+5)×

12

5

-

1

2

×3×4=

12

5

∴VE-BCD=

1

3

×

12

5

×

3 3

2

=

6 3

5

∴三棱锥C-BDE的体积为

6 3

5

（12分）

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力和运算能力以及化归与转化能力．