Question

如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F中PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）证明：PE⊥AF；
（2）当点E是BC的中点时，求多面体PADEF的体积．

Answer 1

分析：（1）由题意可得此题是证明线面垂直的问题，即证明直线AF垂直于平面PBE，而当点E在BC上无论怎样运动时直线PE都在此平面内，因此只需证明已知直线垂直于平面内的两条相交直线即可．
（2）多面体PADEF的体积V=V_P-ADE+V_E-PAF，分别求出两个棱锥的底面积和高，代入棱锥体积公式，可求出答案．

解答：证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴EB⊥PA，
又∵EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又∵AF?平面PAB，
∴AF⊥BE，
又∵PA=AB=1，点F是PB的中点，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，
∴AF⊥PE．
（2）∵PD与平面ABCD所成角是30°，
∴AD=

3

又∵ABCD是矩形，PA=AB=1，ABCD是矩形，PA=AB=1，
∵棱锥P-ADE的高PA=1，底面ADE面积S₁=

1

2

×1×

3

=

3

2

∴V_P-ADE=

1

3

•

3

2

•1=

3

6

棱锥E-PAF的高

1

2

BC=

3

2

，底面PAF的面积S₂=

1

2

×

1

2

=

1

4

∴V_E-PAF=

1

3

•

3

2

•

1

4

=

3

24

∴多面体PADEF的体积V=V_P-ADE+V_E-PAF=

3

6

+

3

24

=

5 3

24

点评：本题考查的知识点是空间线面垂直与线线垂直之间的转化，组合几何体的体积，其中（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直的之间的相互转化，（2）的关键是将组合体时行分解．