Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1．
（1）求a，b的值；
（2）设 ，若关于x的方程 在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a．∵a＞0，所以f（x）在[2，3]上为增函数，

故 ，即

解得a=1，b=0．

（2）解：g（x）= =x+ ，∴g（|2x﹣1|）=|2x﹣1|+ ﹣2．

∵ ，∴ ，

即|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0．

令|2x﹣1|=t，则方程可化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t＞0），

由方程 在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上有三个不同的实数解，

结合t=|2x﹣1|的图象（如右图）可知，

方程t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1，t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．

记h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则 或 ．

解得k＞0．

【解析】（1）根据f（x）的开口方向和对称轴可知f（x）在[2，3]上是增函数，根据最值列出方程组解出a，b；（2）令|2x﹣1|=t，得到关于t的二次函数h（t），结合t=|2x﹣1|的函数图象可判断h（t）的零点分布情况，列出不等式组解出k的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．