Question

已知数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，其前n项和为S_n，数列{b_n}为等比数列，且b1=1，bn＞0，数列{ban}是公比为64的等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据等差数列的通项公式可求得a_n，设{bn}的公比为q，则bn=qn-1，由

ba2

ba1

=

b5

b3

=q²=64可求得q，从而可得b_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S_n，对

1

Sn

拆项后利用裂项相消法可求得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，从而可得结论；

解答：解：（I）依题意有：a_n=a₁+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1，
设{bn}的公比为q，则bn=qn-1，
∵数列{ban}是公比为64的等比数列，
∴

ba2

ba1

=

b5

b3

=q²=64，解得q=8，
∴bn=8n-1；
（II）由（Ⅰ）可得，S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式和数列求和，考查数列与不等式的综合，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．