Question

已知函数.

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）证明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），           ………………2分

xf′（x）=xlnx+1，

题设xf′（x）≤x²+ax+1等价于lnx-x≤a，

令g（x）=lnx-x，则g’（x）=。         ………………4分

当0<x<1时，g’（x）>0；当x≥1时，g’（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，

g（x）≤g（1）=-1。         ………………6分

综上，a的取值范围是[-1,+∞）。           ………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0；

当0<x<1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0； ………10分

当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）

  =lnx+x（lnx+-1）≥0

所以（x-1）f（x）≥0   

【解析】略