Question

27、求证：1+4C_n¹+7C_n²+10C_n³+…+（3n+1）C_nⁿ=（3n+2）•2^n-1．

Answer 1

分析：由题意知本题是一个证明题，在证明过程中，注意观察所给的等式的左边的结构特点，出现可以应用倒序相加的运算，再等式两边同除以2，得到要证明的结论成立．

解答：证明：设S=1+4C_n¹+7C_n²+10C_n³+…+（3n+1）C_nⁿ，①
则S=（3n+1）C_nⁿ+（3n-2）C_n^n-1+…+4C_n¹+1．②
①②两式相加，
得2S=（3n+2）（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=（3n+2）•2ⁿ，
∴S_n=（3n+2）•2^n-1．

点评：本题考查组合与组合数的公式和性质，要用到等差数列求和公式推导的方法，倒序相加，解题时注意观察等式的特点，分析清楚题目的发展方向．