Question

已知两个命题p：直线y=mx+3与圆（x-3）²+（y-2）²=4相交的弦长大于2

3

；q：P（

1

2

，-1），Q（2，1）均在圆x²+y²+mx+y=0内．
（1）当p为真时，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据直线与圆相交时，弦长=2

r2-d2

，根据弦长大于2

3

，求出m的取值范围；
（2）根据点在圆内的充要条件，求出命题q为真时m的取值范围，再根据复合命题真值表判断，若p∨q为真，p∧q为假，命题p、q一真一假，分两种情况分别求出，然后求并集即可．

解答：解：（1）当p为真时，圆心到直线的距离d=

|3m+1|

m2+1

，
所以弦长 2

4-d2

＞2

3

⇒4-d^2＞3⇒d²＜1，即

9m2+6m+1

m2+1

＜1
整理得4m²+3m＜0，即-

3

4

＜m＜0．
∴当p为真时，实数m的取值范围是-

3

4

＜m＜0；
（2）当q为真时，

1 4 +1+ 1 2 m-1＜0 4+1+2m+1＜0

⇒m＜-3
若p∨q为真，p∧q为假，根据复合命题真值表知：命题p、q一真一假，
若p真q假时，

- 3 4 ＜m＜0 m≥-3

⇒-

3

4

＜m＜0；
若p假q真时，

m≥0或m≤- 3 4 m＜-3

⇒m＜-3；
综上m的取值范围是-

3

4

＜m＜0或m＜-3．

点评：本题借助复合命题的真假判定，考查了直线与圆的相交弦长问题及点在圆内的充要条件，解题的关键是求出命题p、q为真时m的取值范围．