Question

如图,在六面体中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面ABCD, 

(Ⅰ)求证:A₁C₁与AC共面，B₁D₁与BD共面；

(Ⅱ)求证:平面

(Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函数值表示).

Answer 1

本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．

解法1（向量法）：

以为原点，以所在直线分别为

轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，

则有．

（Ⅰ）证明：．

．

与平行，与平行，

于是与共面，与共面．

（Ⅱ）证明：，，

，．

与是平面内的两条相交直线．

平面．

又平面过．

平面平面．

（Ⅲ）解：．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

．

二面角的大小为．

解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：平面，平面．

，，平面平面．

于是，．

设分别为的中点，连结，

有．

，

于是．

由，得，

故，与共面．

过点作平面于点，

则，连结，

于是，，．

，．

，．

所以点在上，故与共面．

（Ⅱ）证明：平面，，

又（正方形的对角线互相垂直），

与是平面内的两条相交直线，

平面．

又平面过，平面平面．

（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，

根据三垂线定理，有．

过点在平面内作于，连结，

则平面，

于是，

所以，是二面角的一个平面角．

根据勾股定理，有．

，有，，，．

，，

二面角的大小为．