已知m.t∈R.函数f (x) =3+m． (I)当t =1时. (i)若f (1) =1.求函数f (x)的单调区间, (ii)若关于x的不等式f (x)≥x3-1在区间[1.2]上有解.求m的取值范围, (Ⅱ)已知曲线y= f (x)在其图象上的两点A(x1.f (x1)).B(x2.f (x2)))( x1≠x2)处的切线分别为l1.l2．若直线l1与l2平行.试探究点A与点B的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知m，t∈R，函数f （x） =（x - t）³+m．

（I）当t =1时，

（i）若f （1） =1，求函数f （x）的单调区间；

（ii）若关于x的不等式f （x）≥x³—1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；

（Ⅱ）已知曲线y= f （x）在其图象上的两点A（x₁，f （x₁）），B（x₂，f （x₂）））（ x₁≠x₂）处的切线分别为l₁、l₂．若直线l₁与l₂平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．

解：（Ⅰ）（i）因为，所以， 1分

则，而恒成立，

所以函数的单调递增区间为． 4分

（ii）不等式在区间上有解，

即不等式在区间上有解，

等价于在区间上的最小值， 6分

因为时，，

所以的取值范围是． 9分

（Ⅱ）因为的对称中心为，

而可以由经平移得到，

所以的对称中心为,故合情猜测，若直线与平行，则点与点关于点对称． 10分

对猜想证明如下：

因为

所以

所以，，的斜率分别为，．

又直线与平行，所以，即，

因为，

所以，， 12分

从而，

所以．

又由上

所以点关于点（对称．

故直线与平行时，点与点关于点对称． 14分

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（i）若f （1）=1，求函数f （x）的单调区间；
（ii）若关于x的不等式f （x）≥x³-1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；
（Ⅱ）已知曲线y=f （x）在其图象上的两点A（x₁，f （x₁）），B（x₂，f （x₂）））（ x₁≠x₂）处的切线分别为l₁、l₂．若直线l₁与l₂平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．

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(I)当t =1时，

(i)若f (1) =1，求函数f (x)的单调区间；

(ii)若关于x的不等式f (x)≥x³—1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；

(Ⅱ)已知曲线y= f (x)在其图象上的两点A(x₁，f (x₁))，B(x₂，f (x₂)))( x₁≠x₂)处的切线

分别为l₁、l₂．若直线l₁与l₂平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．

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