Question

设a₀为常数，且a_n=3^n-1-2a_n-1(nÎN)。

（1）证明对任意n³1，；

（2）假设对任意n³1有a_n>a_n-1，求a₀的取值范围。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）证法一：①当n=1时，由已知a1=1-2a0，等式成立； ②假设当n=k(k³1)等式成立，则，那么 。也就是说，当n=k+1时，等式也成立。根据①和②，可知等式对任何nÎN，成立。 证法二：如果设an=3n-1-2(an-1-a3n-1)，用an=3n-1-2an-1代入，可解出。所以是公比为-2，首项为的等比数列。∴ 即。 （2）证法一：由an通项公式。 ∴ an>an-1(nÎN)等价于                            ① （i）当n=2k-1，k=1，2，…时，①式即为，即为                                                             ② ②式对k=1，2，…都成立，有。 （ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为。即为  ③，③式对k=1，2，…都成立，有。综上，①式对任意nÎN*成立，有。故a0的取值范围为。 证法二：如果an>an-1(nÎN*)成立，特别取n=1，2有a1-a0=1-3a0>0。a2-a1=6a0>0。因此。下面证明当时，对任意nÎN*，an-an-1>0。由an的能项公式5(an- an-1)=2´3n-1+(-1)n-13´2n-1+(-1)n´5´3´2n-1a0。 （i）当n=2k-1，k=1，2，…时，5(an-an-1)=2´3n-1+3´2n-1-5´3´2n-1a0>2´2n-1+3´ 2n-1-5´3´2n-1=0 （ii）当n=2k，k=1，2，…时，5(an-a n-1)=2´3n-1-3´2n-1+5´3´2n-1a0>2´3n-1-3´ 2n-1³0。故a0的取值范围为。