Question

设{a_n}是公比为q的等比数列．
（Ⅰ）试推导{a_n}的前n项和公式；
（Ⅱ） 设q≠1，证明数列{a_n+1}不是等比数列．

Answer 1

（I）当q=1时，S_n=na₁；
当q≠0，1时，由S_n=a₁+a₂+…+a_n，
得qS_n=a₁q+a₂q+…+a_n-1q+a_nq．
两式错位相减得（1-q）S_n=a₁+（a₂-a₁q）+…+（a_n-a_n-1q）-a_nq，（*）
由等比数列的定义可得

a2

a1

=

a3

a2

=…=

an

an-1

=q，
∴a₂-a₁q=a₃-a₂q=…=0．
∴（*）化为（1-q）S_n=a₁-a_nq，
∴Sn=

a1-anq

1-q

=

a1-a1qn

1-q

=

a1(1-qn)

1-q

．
∴Sn=

na1， (q=1) a1(1-qn) 1-q ， (q≠1)

；
（Ⅱ）用反证法：设{a_n}是公比为q≠1的等比数列，数列{a_n+1}是等比数列．
①当存在n∈N^*，使得a_n+1=0成立时，数列{a_n+1}不是等比数列．
②当?n∈N^*（n≥2），使得a_n+1≠0成立时，则

an+1+1

an+1

=

a1qn+1

a1qn-1+1

=

a1q+1

a1+1

，
化为（q^n-1-1）（q-1）=0，
∵q≠1，∴q-1≠0，q^n-1-1≠0，故矛盾．
综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．