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 已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145。

(Ⅰ)求数列{bn}的能项bn

(Ⅱ)设数列{an}的通项an=loga(1+1/bn)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项的和。试比较Sn与1/3logabn+1的大小,并证明你的结论。

(Ⅰ)设数列的公差为,由题意得

 

解得  ∴ 

(Ⅱ)由,知

=

因此要比较的大小,可先比较的大小。

, 取, 由此推测

 

若①式成立,则由对数函数性质可断定: Sn>1/2lgbn+1

下面用数学归纳法证明①式。

(i)当n=1时已验证①式成立。

(ii)假设当n=k(k≥1)时,①式成立,即

 

那么,当n=k+1时,

/2k+1(2k+2)>

因而(1+1)(1+1/3)…(1+1/2k-1)(1+1/2k+1) >

这就是说①式当n=k+1时也成立。

由(i),(ii)知①式对任何正整数n都成立。

由此证得:Sn=1/2lgbn+1

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