Question

【题目】设x，y∈R，向量 分别为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量 ， ，且 ．
（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设椭圆 ，P为曲线C上一点，过点P作曲线C的切线y=kx+m交椭圆E于A、B两点，试证：△OAB的面积为定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， ，且 ，
∴
∴点M（x，y）到两个定点F1（- ，0），F2（ ，0）的距离之和为4
∴点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，
设所求椭圆的标准方程为 ，
a=2∴b2=a2﹣c2=1
其方程为
（Ⅱ）证明：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
将y=kx+m代入椭圆E的方程，消去x可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0
显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内，
∴△＞0，由韦达定理可得： ， ．
所以
因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为（0，m），
所以△OAB的面积
=
设
将y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0
由△=0，可得m2=1+4k2即t=1，
又因为 ，
故 为定值．
【解析】（Ⅰ）通过 ，得到 ，说明点M（x，y）到两个定点F1（- ，0），F2（ ，0）的距离之和为4，推出点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，然后求解即可．（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），将y=kx+m代入椭圆E的方程，消去x可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内，利用判别式以及韦达定理求解三角形的面积，转化求解即可．