Question

若函数f（x）=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a2-13) x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数．
（1）试求实数a的取值范围．
（2）若a=2，求f（x）=c有三个不同实根时，c的取值范围．
（说明：第二问能用f（x）表达即可，不必算出最结果．）

Answer 1

分析：（1）对f（x）求导，由已知条件函数f（x）=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a2-13) x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，将问题转化为f′（x）=x²-ax+a²-13≤0在区间（1，4）上恒成立，和f′（x）=x²-ax+a²-13≥0在区间（1，4）上恒成立，两个恒成立问题，从而求解；
（2）把a=2代入f（x），然后求导，求出f（x）的单调区间，利用数形结合的思想，画出图形进行求解．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a2-13) x+1
∴f′（x）=x²-ax+a²-13，∵f（x）在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数．
∴f′（x）=x²-ax+a²-13≤0在区间（6，+∞）上恒成立，
f′（x）=x²-ax+a²-13≥0在区间（6，+∞）上恒成立，
由f′（x）=x²-ax+a²-13开口向上，
∴只需

f′(1)=1-a+a213≤0 f′(4)=16-4a+ a2-13≤0  f′(6)=36-6a+a2-13≤0

∴

-3≤a≤4 1≤a≤3 a∈R

∴a∈[1，3]
∴a的取值范围为[1，3]．
（2）∵a=2，f（x）=

1

3

x3-x2-9x+1，
∴f′（x）=x²-2x-9，
∴令f′（x）=x²-2x-9≥0即x≤1-

10

或x≥1+

10

，
∴f（x）的增区间为（-∞，1-

10

），（1+

10

，+∞），减区间为（1-

10

，1+

10

）

X	(-∞，1- 10 )	1- 10	(1- 10 ，1+ 10 )	1+ 10	(1+ 10 ，+∞)
y’	+	0	-	0	+
y	↗	极大值 20 10 -26 3	↘	极小值- 20 10 +26 3	↗

∴f（x）的大致图象如图所示：
令y=c，则由图可知，当c∈(-

20 10 +26

3

，

20 10 -26

3

)

点评：此题考查利用导数研究函数的单调性，第一问比较新颖，已知单调区间来a的范围，利用了转化的思想，是一道综合性比较强的题．