Question

已知f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1（x∈R）
（Ⅰ）将函数f（x）的图象按向量a=(

π

6

，-1)平移后，得到g（x）的图象，写出函数g（x）的表达式；
（Ⅱ）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(

A

2

)=3，且a=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据平移规律，由f（x）的图象按向量a=(

π

6

，-1)平移后g（x）的解析式即可；
（Ⅱ）由f（

A

2

）=3及f（x）解析式，求出sin（A+

π

6

）的值，由A为三角形的内角，得出A+

π

6

的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而得出sinA和cosA的值，由a，cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式变形后求出bc的最大值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（x）的图象按向量

α

（

π

6

，-1）平移后的解析式g（x）=2sin[2（x-

π

6

）+

π

6

]=2sin（2x-

π

6

）；…（3分）
（Ⅱ）由f（

A

2

）=3及f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，得：2sin（A+

π

6

）+1=3，
整理得：sin（A+

π

6

）=1，又A+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
∴A+

π

6

=

π

2

，∴A=

π

3

，…（8分）
在△ABC中，a=2，cosA=

1

2

，
由余弦定理得：a²=4=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4（当且仅当b=c时取等号），
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×4×

3

2

=

3

，
则△ABC的面积的最大值为

3

．…（12分）

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及三角函数的图象变换，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．