Question

两个腰长均为1的等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面构成60°的二面角，则点C₁和C₂之间的距离等于

 

．（请写出所有可能的值）

Answer 1

分析：有三种情况：
①若AB是斜边，则根据题中二面角的大小，要把这个条件用起来的话，首先要作出此二面角的平面角，可以取AB中点M，连接MC₁、MC₂，则∠C₁MC₂即为等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面构成的二面角的平面角，进而可以求得答案；
②若AB是直角边，则∠C₁AC₂即为等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面构成的二面角的平面角，进一步可得答案．
③如图3所示：AB为公共直角边时，C₁在靠近A的这侧，但是C₂在靠近B的那侧．

解答：解：如图所示，有两种情况：
①如图1所示：当AB为斜边时，取AB中点M，连接MC₁、MC₂，
∵△ABC₁和△ABC₂均为等腰直角三角形，
∴MC₁⊥AB，MC₂⊥AB，则∠C₁MC₂即为等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面构成的二面角的平面角，
∴∠C₁MC₂=60°
又∵MC₁=MC₂=

2

2

∴C₁C₂=

2

2

②如图2所示：当AB为直角边时，
∵BA⊥AC₁，BA⊥AC₂，
∴∠C₁AC₂即为等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面构成的二面角的平面角，
∴∠C₁AC₂=60°
又∵C₁A=C₂A=1
∴C₁C₂=1
③如图3所示：AB为公共直角边时，C₁在靠近A的这侧，但是C₂在靠近B的那侧，
此时C₁C₂=

2

综上所述：点C₁和C₂之间的距离等于

2

2

或1

2

．
故答案为：

2

2

或1或

2

．

点评：本小题主要考查点、线、面之间的距离计算，二面角及其度量等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．