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    一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．
    （Ⅰ）判断，f2（x）=x，f3（x）=x2中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
    （Ⅱ）如果g（x）是定义在R上的周期函数，且值域为（0，+∞），证明g（x）不是“保三角形函数”；
    （Ⅲ）若函数F（x）=sinx，x∈（0，A）是“保三角形函数”，求A的最大值．
    （可以利用公式）
    【答案】分析：（1）任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，我们判断f（a），f（b），f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边（2）要想一个函数不是“保三角形函数”关键是根据题中条件g（x）是定义在R上的周期函数，且值域为（0，+∞），举出反例．（3）则是要利用“保三角形函数”的概念，求A的最值，观察到Sinx的最大值为1，且Sin=，故可猜想可能为分类讨论的分类标准，所以解答过程可通过对x与的关系进行分类讨论，最后给出结论．
    解答：解：（I）f1（x），f2（x）是“保三角形函数”，f3（x）不是“保三角形函数”．
    任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，
    由于，所以f1（x），f2（x）是“保三角形函数”．
    对于f3（x），3，3，5可作为一个三角形的三边长，但32+32＜52，
    所以不存在三角形以32，32，52为三边长，故f3（x）不是“保三角形函数”．
    （II）设T＞0为g（x）的一个周期，由于其值域为（0，+∞），
    所以，存在n＞m＞0，使得g（m）=1，g（n）=2，
    取正整数，可知λT+m，λT+m，n这三个数可作为一个三角形的三边长，
    但g（λT+m）=1，g（λT+m）=1，g（n）=2不能作为任何一个三角形的三边长．
    故g（x）不是“保三角形函数”．
    （III）A的最大值为
    ①若，
    取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，
    但不能作为任何一个三角形的三边长，
    故F（x）不是“保三角形函数”．
    ②当时，对任意三角形的三边a，b，c，若，则分类讨论如下：
    （1）a+b+c≥2π，
    此时，同理，，
    ∴，故，．
    同理可证其余两式．
    ∴sina，sinb，sinc可作为某个三角形的三边长．
    （2）a+b+c＜2π
    此时，，可得如下两种情况：时，由于a+b＞c，所以，．
    由sinx在上的单调性可得；时，，
    同样，由sinx在上的单调性可得；
    总之，．
    又由及余弦函数在（0，π）上单调递减，
    得，
    ∴．
    同理可证其余两式，所以sina，sinb，sinc也是某个三角形的三边长．
    故时，F（x）是“保三角形函数”．
    综上，A的最大值为．
    点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．要想判断f（x）为“保三角形函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“保三角形函数”的概念，但要判断f（x）不为“保三角形函数”，仅须要举出一个反例即可．
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    1
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