Question

圆过点A（1，-2），B（-1，4），求
（1）周长最小的圆的方程；
（2）圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意，求出以线段AB为直径的圆，即为所求周长最小的圆的方程；
（2）求出线段AB的中垂线与直线2x-y-4=0交点C（3，2），可得所求圆的圆心为C（3，2），求出AB的长即为圆的半径长，由此即可得到圆心在直线2x-y-4=0上圆的方程．

解答：解：（1）∵圆过点A（1，-2），B（-1，4），且周长最小
∴所求的圆是以AB为直径的圆，方程为
（x-1）（x+1）+（y+2）（y-4）=0，
化简得x²+（y-1）²=10；
（2）线段AB的中垂线方程为：y=

1

3

x+1，与直线2x-y-4=0交点为C（3，2）
∴圆心在直线2x-y-4=0上的圆，圆心坐标为C（3，2）
半径r=

(1-3)2+(-2-2)2

=2

5

可得所求圆的方程为（x-3）²+（y-2）²=20

点评：本题给出两个定点A、B，求经过AB周长最小的圆方程，并求圆心在定直线上的圆方程．着重考查了圆的标准方程和两点间的距离公式等知识，属于基础题．