Question

f（x）=axe^kx-1，g（x）=lnx+kx．
（Ⅰ）当a=1时，若f（x）在（1，+∞）上为减函数，g（x）在（0，1）上是增函数，求k值；
（Ⅱ）对于任意k＞0，x＞0，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=xe^kx-1，分别求出函数f（x），g（x）的导数，从而得出k的取值范围；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x）=axe^kx-lnx-kx-1（x＞0），求出h（x）的导数，通过讨论a的取值范围解决问题．

解答： 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=xe^kx-1，
∴f′（x）=（kx+1）e^kx，g′（x）=

1

x

+k，
f（x）在（1，+∞）上为减函数，
则?x＞1，f′（x）≤0?k≤-

1

x

，
∴k≤-1；
∵g（x）在（0，1）上为增函数，
则?x∈（0，1），g′（x）≥0?k≥-

1

x

，
∴k≥-1；
综上所述：k=-1．
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x）=axe^kx-lnx-kx-1（x＞0），
∴h′（x）=（kx+1）（ae^kx-

1

x

），
设u（x）=ae^kx-

1

x

，
∴u′（x）=ake^kx+

1

x2

，
①a≤0时，u（x）=ae^kx-

1

x

＜0，
则h′（x）=（kx+1）（ae^kx-

1

x

）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上是减函数，
h（x）＞0不恒成立；
②当a＞0时，u′(x)=akekx+

1

x2

＞0，
则在（0，+∞）上，u(x)=aekx-

1

x

是增函数，
u（x）的函数值由负到正，必有x₀∈（0，+∞），u（x₀）=0，
即aekx0=

1

x0

，两边取自然对数得，lna+kx₀=-lnx₀，
h（x）在（0，x₀）上是减函数，（x₀，+∞）上是增函数，
h(x)min=h(x0)=ax0ekx0-1-lnx0-kx0
=1-1-lnx₀-kx₀
=-lnx₀-kx₀
=lna
因此，lna＞0，
即a的取值范围是（1，+∞）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的取值，本题是一道综合题．