Question

设x，y满足约束条件

3x-y-2≤0 2x-y≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则

a+b

ab

的最小值为

6+4

2

．

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部，再将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=2且y=4时，z_最大值=2a+4b=1．由此再利用基本不等式求最值，可得

a+b

ab

的最小值．

解答：解：作出不等式组

3x-y-2≤0 2x-y≥0 x≥0，y≥0

表示的平面区域，
得到如图的△ABO及其内部，其中A（2，4），B（

2

3

，0），0为坐标原点
设z=F（x，y）=ax+by，将直线l：z=ax+by进行平移，
由a＞0且b＞0得直线l的斜率为负数，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z_最大值=F（2，4）=2a+4b=1
因此，

a+b

ab

=（2a+4b）（

1

a

+

1

b

）=6+

4b

a

+

2a

b

∵a＞0且b＞0，

4b

a

+

2a

b

≥2

4b a • 2a b

=4

2

，∴

a+b

ab

≥6+4

2

，
当且仅当

4b

a

=

2a

b

时，即a=

2- 2

4

、b=

2 -1

4

时等号成立
∴

a+b

ab

的最小值为6+4

2

．
故答案为：6+4

2

点评：本题给出二元一次不等式组，求在已知目标函数的最大值为1的情况下求

a+b

ab

的最小值，着重考查了基本不等式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．