Question

已知椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的一个顶点为M（0，1），离心率e=

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=3．求证：直线AB过定点，并求该定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）依题意，得b=1，且

c

a

=

6

3

，c²=a²-b²，解出a，b即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+t，联立椭圆方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理，结合斜率公式，化简整理，由恒成立的思想，即可得到定点．

解答： （Ⅰ）解：依题意，得b=1，且

c

a

=

6

3

，c²=a²-b²，
解得a=

3

，b=1
则椭圆方程为

x2

3

+y²=1．
（Ⅱ）证明：显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+t，
代入椭圆方程，得（3k²+1）x²+6ktx+3（t²-1）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

-6kt

3k2+1

，x₁•x₂=

3(t2-1)

3k2+1

，
由k₁+k₂=3，得

y1-1

x1

+

y2-1

x2

=3，①
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，②
由①，②得2k+（t-1）•

2kt

1-t2

=3，
化简，得t=

2k-3

3

．
则直线AB的方程为y=kx+

2k-3

3

=k（x+

2

3

）-1，
∴直线AB过定点（-

2

3

，-1）．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，结合斜率公式，化简整理，由恒成立的思想，即可得到定点，本题属于中档题．