Question

如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。

（1）求证：面EFG⊥面PAB；
（2）求异面直线EG与BD所成的角的余弦值；
（3）求点A到面EFG的距离。

Answer 1

解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）， P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）， （1）证明：∵=（0，1，0），=（0，0，2），=（2，0，0）， ∴·=0×0+1×0+0×2=0，·=0×2+1×0+0×0=0， ∴EF⊥AP，EF⊥AB， 又∵AP、AB面PAB，且PA∩AB=A， ∴EF⊥平面PAB， 又EF面EFG， ∴平面EFG⊥平面PAB。 （2）∵， ∴。 （3）设平面EFC的法向量=（x，y，z）， 则，∴， 令z=0，得=（1，0，1）， 又=（0，0，1）， ∴点A到平面EFG的距离